TEOREMA DE LA BISECTRIZ DE UN ANGULO EXTERIOR DE UN TRIANGULO

TEOREMA DE LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO EXTERIOR DE UN TRIÁNGULO

Si la bisectriz de un ángulo exterior de un triángulo corta a la prolongación del lado opuesto, determina sobre esta segmentos proporcionales a los otros dos lados.

HIPOTESIS:

-Triángulo ABC

-El ángulo MAC es adyacente al ángulo A

-(AD) bisectriz del MAC

TESIS: (proporcionalidad)

(BD)/(CD) =(AB)/(AC)

DEMOSTRACIÓN:

Por el vértice C se traza la paralela (AD)

que corta al lado (AB)

en el punto E, entonces

por el corolario del Teorema de Thales:

(BD)/(CD) = AB) /(AE) (1)

-Vamos a demostrar ahora que (AE) =(AC)

Por un lado tenemos que:

α = α' por ser ángulo alternos internos entre AD//CE y

secante AC.

Y β = β' por ser ángulo correspondiente entre AD//CE y

secante BM.

Pero como α = β por ser AD bisectriz del MAC 4 α' = β'

Entonces el EAC es isósceles 4 (AE)=(AC)

Reemplazando en (1):

(BD)/(CD) =(AB)/(AC) c.s.q.d